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作図 2次元 作図点/線が無限遠点/線なとき

作図点、作図線がそれぞれ無限遠点、無限遠線なときどう移るかみておく。


作図 2次元


作図点、作図線が無限遠点、無限遠線のとき。
平行移動になる。


作図 2次元


作図線が無限遠線のとき。
拡大(縮小)、180度回転、180度回転&拡大(縮小)になる。


作図 2次元


作図点が作図線と90度方向にある無限遠点のとき。
鏡像反転、鏡像反転&横方向のみ拡大(縮小)、横方向のみ拡大(縮小)になる。
lこれは、作図線を軸に図形を回転させているとみることもできる。


作図 2次元


作図点(無限遠点)の方向が他の場合も、作図線を軸に回転させているとみることができる。
作図線が手前に傾いている感じ。


作図 2次元


作図点/線が無限遠ではないときもふくめ、この作図パターンは、すべて作図線を軸にした回転とみれる。ただその軸は図形面上になければならない。
図形と垂直な軸による回転は、鏡面反射を2回することで可能。


作図 2次元










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  1. 2009/06/30(火) 未分類
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作図 2次元 用語

作図に関する点とか線に名前をつけとく。
自分の頭の整理のため。例によって仮名だ。
2次元の作図の基本である次図の点と線を作図点作図線と呼ぶことにする。
それぞれデザルグの定理 wikipediaをみるとパース中心(Center of Perspectivity)パース軸(Axis of Perspectivity)なんだが、紙の中の作図手順のためのものという意思をこめて。


作図 2次元 用語


作図点、作図線を利用して点を移すには、元と先から対応するひと組の点を選ぶ必要がある。
その点を元支点先支点と呼ぶことにする。
この点は、ひと組に決める必要ないのだが、半ば機械と化し作図作業をするためにも、スクリプトなりを使うためにも、ひと組に決め込んだほうが良いのだろう。


作図 2次元 用語


まとめると、次図のように点3つと線ひとつで、ひとつの作図パターンが決まるわけだ。
M点による図面からの作図の場合、作図点がM点、作図線が図面と作図先の面の交線になる。


作図 2次元 用語


支点を2組用意して次図のように作図することもできる。
この場合、作図点は作図に必要なくなる。
足線法による作図はこのパターンになっている。


作図 2次元 用語


直線を移すときは、その直線上の適当な1点を移すことで作図できる。


作図 2次元 用語


適当な直線の無限遠点がどこに移るかをみることで、先平面、元平面の無限遠線が移る直線がどうなるかわかる。
その直線は、作図線と平行になる。


作図 2次元 用語









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  1. 2009/06/27(土) 未分類
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作図 2次元 作図してみる

次のような図の変換を実際に作図してみる。
いちおう裏表がわかるカタチ(チェックマーク)にしているつもり。



とりあえず、2次元→1次元x1次元→変換→1次元x1次元→2次元の方法で答え合わせ用の作図をしておく。
左から、平行投影(正方形→平行四辺形)、透視投影(正方形→台形)、透視投影(正方形→四角形)



平行投影(正方形→平行四辺形)、透視投影(正方形→台形)のときは、パースのかかってない辺同士をくっつけるようにすれば、作図できる。
例えば、次のような感じ。



透視投影(正方形→四角形)のときは、辺同士をくっつけることができない。
ふたつの図形をうまく配置しなければならない。
例えば、次のように。



この配置をどのように求めたかというと、
1.四角形の消失線を求める。
2.辺の消失点、対角線の消失点を利用して可能性のある90度円を求める。
3.そのパースでのM点を利用して四角形を正方形におこす。
4.そこに図のはいった正方形をはめこむ。
といった、実際の作図以上の作業量。



正方形にこだわらず、長方形に縮小することをみとめれば、例えば次のように、もすこし少ない作業量で配置をみつけることができる。






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  1. 2009/06/25(木) 未分類
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作図 2次元

作図、2次元。
平面上の図形を他の平面に写す作図法についてみてみる。


作図 2次元


1次元からの類推。それぞれの平面上の3点が次のように対応しているとき。


作図 2次元


対応する直線同士の交点は、ふたつの平面の交線上に位置している。(デザルグの定理)

作図 2次元


平面上の各点は、次のように補助点ひとつ、補助線ひとつを使って写すことができる。


作図 2次元


1次元のときなみに楽にとりまわしできそう。と思ったのだが。甘かった・・・
・3点ではなく対応する4点が必要。上図は何かが足りてない。
・作図面上同一点に見えてるだけ状態に注意しなきゃいけない。




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  1. 2009/06/25(木) 未分類
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作図 1次元 角度(補足)

前節の例として、正方形の辺と対角線のうちひとつが対応すれば、残りの対角線もちゃんとうつることをみておく。
平行投影のときは次のように


作図 1次元 角度


透視投影のときは次のようになる。


作図 1次元 角度


1次元(長さ)のときは、
消失点は消失点に写る(べきか?)
消失点が無限遠点のときは、実際の長さ(の比)として使える
ということがあったわけだが、角度のときはどうなるのか?
消失線はやはり消失線に写る(べきか?)
・実際の角度として使える条件・・・わからない。
消失線が無限遠線のときも、実際の角度と違うこともあるし、
消失線が無限遠線でないときも、実際の角度として使える場合があるわけだ。
とりあえず、3本の直線に消失線が混じっているとき、どんな感じになるのかみてみる。
次のとおり角度というより、長さ的なものになる。
大きな大きなコンパスで直線をひいてる感じ?


作図 1次元 角度


消失線が共通しているときは、次のような感じ


作図 1次元 角度




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  1. 2009/06/23(火) 未分類
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作図 1次元 角度

角度の写り方をみてみる。
3本の直線がどのように写るかがわかれば、他の直線の写り方も決定する。


作図 1次元 角度


前節までみてきた、作図パターンの直線と点をいれかえれば、それが角度をうつす作図パターンになる。
対応する直線の交点3つがひとつの直線上にあるとき、その直線を補助線として作図することができる。
例えば、こんなだったり、


作図 1次元 角度


こんなだったり


作図 1次元 角度


こんなだったり。
これは平行移動。


作図 1次元 角度


対応するひとつの直線が同一なときは、次のような感じ


作図 1次元 角度


例によってうまく分類できてない






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  1. 2009/06/23(火) 未分類
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作図 10m~10km

視点の高さ2m、キャンバスが地面に垂直に視点から2m離れたところにあるとする。
立っているところから、10m、100m、1km、10km離れた線をひいてみる。
90度の視円錐の下端から真下にのばした半直線が2mであることから、その半直線を5倍すれば、10m先の位置がわかる。
5倍ものさしを例えば次のように配置して作図できる。


10m~10km


というか、ものさしは水平に置いたほうが、補助点も消失点とみなすことができるしいいようだ。


10m~10km


同じく10倍ものさしを用意して100m先をもとめる。


10m~10km


10倍ものさしで1km先をもとめる。
円は20度円。


10m~10km


同じく10km先をもとめる。
円は2度円(ほぼ太陽の大きさ)。
地球がまるいことから、2mの高さの視点から水平線までの距離は約5km。
地球が平らだったとしても、5km先は地平線と区別できない、とみるべきか、
地球のまるさはかなりはっきり見えている、とみるべきか、どっちだ。


10m~10km












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  1. 2009/06/21(日) 未分類
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作図 1次元 まとめ(失敗)

平行投影、透視投影まとめて、1次元の作図のかたちのパターンをずらずら。
まず2直線上の3点に無限遠点がないとき。次のような3パターンか。


作図 1次元 まとめ


どちらかの直線に無限遠点があるとき。
次の2パターン・・・


作図 1次元 まとめ


両方の直線に無限遠点があるとき。
こうだったり


作図 1次元 まとめ


こうだったり


作図 1次元 まとめ


こうだったり


作図 1次元 まとめ


ということで、うまくまとまらず。






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  1. 2009/06/21(日) 未分類
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