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円の描き方10 パスカルの定理で4

続き。
実際にパスカルの定理を使って円(2次曲線)を描いてみる。
下図のような四角形に内接する円を描いてみる。
正方形の辺の上に立っている状況。ということで放物線になる。


円の描き方 パスカルの定理


次の二つの作図パターンで直線と円(放物線)の交点と接線を求めてみる。


円の描き方 パスカルの定理


全部で4つの点と接線の組を求めてみる。


円の描き方 パスカルの定理


パスツールで曲線を描く。


円の描き方 パスカルの定理


正確な放物線を描きいれてみる。
黄色が放物線。
もう気持ち点を増やしたほうがよいか。
描き方とは別の話だが。


円の描き方 パスカルの定理






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  1. 2009/07/30(木) 未分類
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円の描き方10 パスカルの定理で3

続き。
円と直線の交点。での接線をパスカルの定理で。
8点から4点の選び方。


円の描き方 パスカルの定理


24パターン。たぶん。


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


使える?


円の描き方 パスカルの定理


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  1. 2009/07/29(水) 未分類
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円の描き方10 パスカルの定理で2

続き。
円との交点を求める直線がもっと左に傾いているとき。


円の描き方 パスカルの定理


42パターン。


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


四角形内で作図がおさまるのは・・・


円の描き方 パスカルの定理


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  1. 2009/07/29(水) 未分類
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円の描き方10 パスカルの定理で1

正方形が投影された四角形に内接する円を描く方法。パスカルの定理をつかって。
作図になれるためにとりあえず正方形に内接する円の描き方をみてみる。
右辺上の点からのびる直線と円の交点をパスカルの定理をつかってもとめる。
円が通る点が4点。それぞれ接線もわかっているということで、8点が決まっているといえる。
その8点から5点(順番をふくめて)選ぶごとに作図パターンがあるわけで、全部試してみた。


円の描き方 パスカルの定理


以下42パターン。だと思う。


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


円の描き方 パスカルの定理


次のふたつのパターンが使い安そうか・・・


円の描き方 パスカルの定理















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  1. 2009/07/28(火) 未分類
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共通外接線、共通内接線の描き方

二つの円に同時に接する直線、共通接線の描き方。
直線に対して同じ側に円がくるような接線を共通外接線。
逆側な接線を共通内接線、と呼ぶ。


共通接線


2本の共通外接線の交点、2本の共通内接線の交点がわかれば、その点から接線をひくだけになる。
どんな円も相似だから、それぞれの円の中心を通る2本の平行線を適当に引いて・・・求めることができる。


共通接線


前節の二つの方法で実際に共通外接線をひいてみる。


共通接線


共通内接線もひいてみる。


共通接線


相似な楕円が同じ向きになっているときも、適当な平行線を中心(もしくは焦点、長径、短径の端点など)からひいて・・・で共通接線を求めることができる。


共通接線


どんな放物線も相似だから、同じ向きに並んでいるときは、適当な平行線を頂点(もしくは焦点)からひいて・・・で共通外接線を求めることができる。(逆向きのときは共通内接線)
のだが、お絵描き的には、円錐とか円柱をすかっと描くためにも、適当な二つの2次曲線の共通接線をひく方法がわからないと始まらない。
あと、直線と2次曲線の交点が遠く離れてるとき、その交点への直線の引き方も宿題か?


共通接線


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  1. 2009/07/24(金) 未分類
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楕円とか放物線とか二次曲線の接線の描き方

楕円とか放物線とか二次曲線の接線の描き方を。
まず曲線上の点からの接線を描く方法。


二次曲線の接線


適当に二組の平行線をひいてできる直線の平行線を曲線上の点からひけばいい。


二次曲線の接線


放物線のときも同様。


二次曲線の接線


円のときももちろん同様に接線をひくことができる。


二次曲線の接線


円のときは補助線一本ひいて次図の5つの角度が等しいことから、接線をちゃんとひけることがわかるわけだ。これで方物線とか2次曲線でうまくいくことの説明になる。はずなんだが。あれ?ほんとか?
とにかくパスカルの定理の特別な場合なんだが、よくわかってないよパスカルの定理。


二次曲線の接線


次に曲線外の点から接線をひく方法。


二次曲線の接線


方法1
その点から適当に3本直線を延ばして、対角線を二組つくって交点を結んで・・・


二次曲線の接線


方法2
その点から適当に2本直線を延ばして、対辺の交点とって・・・


二次曲線の接線


放物線のときも同様。

二次曲線の接線


円のときの次図が透視投影されていると思えば、軽めの納得ができるはず。


二次曲線の接線


方法1はパスカルの定理の特別な場合と思うこともできるが、曲線が線対称なことがポイントになってるような。
放物線を平行線できっていったとき、縦線は平行線を2等分していくわけで、それは右図を平行投影したものとみることができるからなんだろうし・・・


二次曲線の接線


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  1. 2009/07/22(水) 未分類
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円の描き方9 放物線、双曲線を描いてみる

円の端が視点を含むキャンバスの平行面と接しているとき、円は放物線に投影される。
そんな配置になるよう、図面としての円を配置して放物線を描いてみた。


放物線


縮小してみる。
ちゃんと放物線っぽくなってる。
無限遠線に映る線と消失線と見れば、放物線が円に投影されているとみることもできる。
放物線は3次のベジエ曲線で近似的にではなく描けるみたいなんだが、うまくはめ込む方法がわかってない。


放物線


円の端が視点を含むキャンバスの平行面と交わってるとき、円は双曲線に投影される。
双曲線も描いてみた。
もうちょっとサンプル点をとったほうがよかったか・・・


双曲線



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  1. 2009/07/15(水) 未分類
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消失点がとれないときに消失点への直線の引き方(再) 共線のひき方

消失点がとれないときに消失点への直線の引き方を再び。
直線をひく先が消失点であるなしにかかわらず、2直線の交点にある点から線をひくという状況は作図時によくあるのでもういちど。
まず言葉の定義の確認。共線共点。(colinear
直線群が同一点をとおるとき、それらの直線は共線(colinear)。
点群が同一線上にあるとき、それらの点群は共点(colinear)。


colinear


問題は、ほとんど平行な2直線へある点から共線をひくには、といいかえることができる(?)。


colinear


前回の[方法3](比による方法)は、作図っぽく描けば次のようになる。
適当に直線をひき、それを別の場所にコピー&ちょっと回転してという感じ。


colinear


前回の[方法2]は一所懸命考えて思いついた方法だったんだが、右側の図のとおりデザルグの定理そのものなわけだ。


colinear


次図も同様。


colinear


ということでデザルグの定理を使うなら、適当な3組の平行線を使うほうがわかりやすくて簡単だったという。


colinear


平行線を一組にした次のパターンもないことはないか。


colinear


もうちょっと具体的な状況ということで、共線をひく点を増やしてみたとき作図がどうなるかみてみる。点群は一直線に並んでいるときをなんとなく。


colinear


比による方法


colinear


平行線3組による方法


colinear


おまけ1。


colinear


おまけ2。


colinear


状況2。
ある点から、直線群のうちの直線と決まったひとつの直線の共線をひいていくとき。
まずいな。問題をうまく文章にできてない・・・


colinear


比による方法。


colinear


平行線3組の方法。


colinear



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  1. 2009/07/13(月) 未分類
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